Détermination de la région de stabilité transitoire au sens de Lyapunov d'un oscillateur non linéaire force par l'approche graphique

Abstract

Actuellement, les systèmes dynamiques non-linéaires décrient un grand nombre de phénomènes scientifiques et d'engineering. Cette théorie a été appliquée pour une gamme de problèmes en physique, chimie, mathématique, biologie, médecine, économie et autres. La stabilité a été l'un des problèmes les plus difficiles dans l'étude des systèmes dynamiques non-linéaires. A cet effet, Lyapunov introduisait une fonction d'énergie appelée fonction de Lyapunov dans le but d'analyser la stabilité des systèmes non-linéaires. Cette fonction doit être définie positive avec une dérivée définie négative ou semi négative le long des trajectoires au voisinage du point d'équilibre. Réciproquement, cette méthode est limitée parce qu'elle est liée à la difficulté de trouver une fonction de Lyapunov appropriée pour un système donné. Dans ce travail, nous présentons une approche graphique pour déterminer la région de stabilité d'un système oscillatoire non-linéaire, non-autonome avec un comportement chaotique qui est le pendule amorti excité par une force extérieure verticale. Cette approche basée sur le concept de Lyapunov, nous permet d'approximer la région de stabilité du pendule forcé. L'avantage principal de cette méthode en plus de la simulation directe des systèmes est que leurs trajectoires ne sont pas calculées, et représentées dans le plan de phase pour différentes conditions initiales. Cette approche est une généralisation de la méthode directe de Lyapunov. La différence fondamentale est que nous considérons plus d'une fonction d'énergie. L'aspect important de notre approche graphique est que la détermination de la région de stabilité du système non linéaire est plus facile que la recherche de la fonction de Lyapunov