Etude des états liés de potentiels dépendant de l’énergie via les formalismes de la supersymétrie quantique et de l’invariance de forme

Abstract

Ce travail de thèse constitue une application de la supersymétrie quantique (SUSYQM) aux potentiels dépendant de l'énergie. Dans les trois premiers chapitres, nous avons développé la méthode SUSYQM, la hiérarchie des Hamiltoniens isospectraux ainsi que la propriété de l'invariance de forme. Tout cela a été étendu aux potentiels dépendant de l'énergie. Des applications ont été abordées dans les deux derniers chapitres. Comme première proposition, nous avons traité analytiquement le potentiel de Woods-Saxon tridimensionnel. En considérant le cas où le nombre quantique orbital est non nul, l'équation de Schr?dinger devient insolvable analytiquement. Le recours à une approximation du terme centrifuge, dite de Pekeris, est alors nécessaire. Nous avons vu comment un bon choix de superpotentiel, à un paramètre, nous a permis de construire les opérateurs d'échelle A_n et A_n^+ . De plus, grâce à la propriété de l'invariance de forme nous avons montré comment obtenir l'expression du spectre d'énergie. Comme application à la physique moléculaire, nous avons considéré le potentiel de P?schl-Teller hyperbolique II tridimensionnel (HPT-II). Ce potentiel étant très adapté à l'interaction inter-atomique dans une molécule diatomique, nous avons alors considéré des molécules diatomiques comme application. Cette dernière est d'autant plus réaliste que les valeurs des paramètres moléculaires utilisées sont empiriques. En premier lieu, nous avons réécrit ce potentiel en faisant apparaitre les principaux paramètres moléculaires comme l'énergie spectroscopique de dissociation "D_e " et la distance minimale d'équilibre "r_e ". Là aussi l'approximation de Pekeris a été utilisée. Nous avons donc par la suite proposé un superpotentiel paramétrique à deux paramètres. Ainsi, nous avons construit les opérateurs d'échelle A_n et A_n^+ dont l'application successive nous a permis de déterminer le spectre d'énergie et les fonctions propres grâce à la propriété de l'invariance de forme. Afin de vérifier la validité de ce calcul, le spectre d'énergie obtenu à l'aide de la méthode SUSYQM a été comparé au calcul numérique par un code adapté à ce type de potentiels. Une étude de l'effet de la dépendance en énergie sur le comportement du spectre d'énergie et sur l'allure des fonctions d'onde a été abordée