Chaine de Markov Image Cachée

Abstract

Après les études décrites, on peut répondre à quelques questions et fournir des explications sur le sujet. L’image d’une chaine de Markov par une fonction 𝑓 dans le cas général, n’est pas forcément une chaine de Markov. Il existe différentes conditions nécessaires et suffisantes qui permettent à la fonction 𝑓(𝑋𝑛) de conserver le caractère markovien de la chaine de Markov à temps discret (𝑋𝑛)𝑛 − 𝑓 est injective. − 𝑓 est bijective. − 𝑓 est surjective. Le cas où 𝑓 est surjective, en général, n’implique pas le caractère markovien de 𝑓(𝑋𝑛), mais avec des conditions particulière posées sur la matrice de transition on peut obtenir ce caractère. La matrice de transition image 𝑄 associée à la chaine de Markov (𝑍𝑛)𝑛 est la même que la matrice de transition 𝑃 de 𝑋𝑛 si 𝑓 est bijective. Si 𝑓 est seulement surjective, les éléments de 𝑄 sont donnes en fonction des éléments de 𝑃 et de la loi initiale 𝑋 0. De même dans le cas général l’image d’une chaine de Markov cachée n’est pas une chaine de Markov cachée, et cela à cause de la dépendance de 𝑓 des probabilités conditionnelles de 𝑌 par rapport à 𝑍. La simulation de ces résultats avec le programme python permet de réaliser numériquement les opérations traitées manuellement dans la partie théorique.