Chaines de Markov quotients

Abstract

Au terme de ce mémoire, il est possible de rependre à la problématique posée dans l’introduction et fournir des explications sur le sujet. L’image d’une variable aléatoire par une fonction est toujours une variable aléatoire, mais l’image d’une chaine de Markov par la fonction n’est pas forcément une chaine de Markov. Il existe différents conditions nécessaires et suffisants qui permettent à la fonction de conserver le caractère markovien de la chaine à temps discret : - est injective. - est bijective. - est surjective et vérifie une condition particulière. Après avoir confirmé que l’image d’une chaine de Markov par la fonction est une chaine de Markov il est possible de calculer la matrice de transition associe à la chaine de Markov image et sa distribution stationnaire a partir de la matrice de transition de la chaine de Markov et cela dépend de la fonction f (injective, bijective, surjective). La suite de variables aléatoires définie sur une partition quelconque de par est une chaine de Markov si elle satisfait les conditions qu’on a cité dans le deuxième chapitre. Après avoir confirmé que est une chaine de Markov il est possible de calculer la matrice de transition associe à la chaine de Markov quotient et sa distribution stationnaire a partir de la matrice de transition de la chaine de Markov et sa distribution stationnaire , cela dépend de la partition de des deux cas étudier (cas particulier, cas général). Une chaine de Markov quotient conserve les mêmes caractéristiques que la chaine (la périodicité, irréductibilités, récurrence et transition) et peut être identifié à partir de la matrice de transition de la chaine de Markov La simulation de ses résultats avec le programme Au terme de ce mémoire, il est possible de rependre à la problématique posée dans l’introduction et fournir des explications sur le sujet. L’image d’une variable aléatoire par une fonction est toujours une variable aléatoire, mais l’image d’une chaine de Markov par la fonction n’est pas forcément une chaine de Markov. Il existe différents conditions nécessaires et suffisants qui permettent à la fonction de conserver le caractère markovien de la chaine à temps discret : - est injective. - est bijective. - est surjective et vérifie une condition particulière. Après avoir confirmé que l’image d’une chaine de Markov par la fonction est une chaine de Markov il est possible de calculer la matrice de transition associe à la chaine de Markov image et sa distribution stationnaire a partir de la matrice de transition de la chaine de Markov et cela dépend de la fonction f (injective, bijective, surjective). La suite de variables aléatoires définie sur une partition quelconque de par est une chaine de Markov si elle satisfait les conditions qu’on a cité dans le deuxième chapitre. Après avoir confirmé que est une chaine de Markov il est possible de calculer la matrice de transition associe à la chaine de Markov quotient et sa distribution stationnaire a partir de la matrice de transition de la chaine de Markov et sa distribution stationnaire , cela dépend de la partition de des deux cas étudier (cas particulier, cas général). Une chaine de Markov quotient conserve les mêmes caractéristiques que la chaine (la périodicité, irréductibilités, récurrence et transition) et peut être identifié à partir de la matrice de transition de la chaine de Markov La simulation de ses résultats avec le programme Matlab permet de réaliser numériquement les opérations traitées manuellement dans la partie théorique. permet de réaliser numériquement les opérations traitées manuellement dans la partie théorique.