Estimations Paramétrique et Non paramétrique du quantile (fractile). Etude de la convergence et applications statistique et financière (actuariat).

Abstract

s Líobjectif de notre mÈmoire est líestimation de quantiles. Líimportance du quantile níest plus ‡ dÈmontrer. Líapport tant sur le plan thÈorique (Information sur la loi) que sur le plan pratique(calcul de la Va R) est considÈrable. Le quantile comme nombre( mesure statistique) a une trÈs grande importance pour la comprÈhension des donnÈes statistiques. Le quantile thÈorique q ou notÈ aussi x comme variable alÈatoire (inverse ou inverse gÈnÈralisÈ de la fonction de rÈpartition F) sa loi et ses propriÈtÈs sont liÈe ‡ F. Le quantile empirique Qn; (inverse ou inverse gÈnÈralisÈ de la fonction de rÈpartition empirique F n coinside avec la statistique díorde de líÈchantillon X(i) = Xi;n: Les statistiques díordre centrales comme quantiles empiriques centrales- La mÈdiane empirique en fait partie- ont un comportement asymptotique la loi Normale.Voir le thÈorËme de convergence. Ce qui signiÖe que les Quantiles empiriques centrales vÈrifent le fameux thÈorËme centrale limite (TCL). Pour líestimation non paramÈtrique de quantiles, on a utilisÈ la mÈthode des noyaux. Il su¢ t de sÈlectionner la fonction noyau , minimiser líerreur quadratique aÖn de calculer le paramËtre de lissage optimale h et díestimer le quantile. Cette propriÈtÈ níest pas vÈriÖÈ pour les statistiques díordres extrÍmes( le max et le min díun Èchantillon en fait partie) voir thÈorÈme des 3 types (Gumbel, FrÈchet et Weibull nÈgative) Un ÈvÈnement rare a une faible probabilitÈ díoccurence et le quantile extrÍme a une trÈs petite probabilitÈ non nulle. Pour líestimation de ces quantiles, gÈnÈralement, on ne dispose que de trÈs peu de donnÈes. Il faut donc extrapoler ‡ partir des donnÈes observÈes pour estimer adÈquatement ces quantitÈs. AprÈs avoir rappelÈ certaines notions en thÈorie des valeurs extrÍmes. Le recours ‡ cette thÈorie nous permet díÈtudier le comportement des valeurs extrÍmes díun Èchantillon de variables alÈatoire et de construire des estimateurs non paramÈtriques, ce qui nous a permis díestimer des quantiles extrÍmes pour des lois ‡ queue de type Weibull, Frechet, Gumbel et la GEV et ainsi que la loi GPD. La G E V( Valeur extrÍme gÈnÈralisÈe) est une 79) sa loi et ses propriÈtÈs sont liÈe ‡ F. Le quantile empirique Qn; (inverse ou inverse gÈnÈralisÈ de la fonction de rÈpartition empirique F n coinside avec la statistique díorde de líÈchantillon X(i) = Xi;n: Les statistiques díordre centrales comme quantiles empiriques centrales- La mÈdiane empirique en fait partie- ont un comportement asymptotique la loi Normale.Voir le thÈorËme de convergence. Ce qui signiÖe que les Quantiles empiriques centrales vÈrifent le fameux thÈorËme centrale limite (TCL). Pour líestimation non paramÈtrique de quantiles, on a utilisÈ la mÈthode des noyaux. Il su¢ t de sÈlectionner la fonction noyau , minimiser líerreur quadratique aÖn de calculer le paramËtre de lissage optimale h et díestimer le quantile. Cette propriÈtÈ níest pas vÈriÖÈ pour les statistiques díordres extrÍmes( le max et le min díun Èchantillon en fait partie) voir thÈorÈme des 3 types (Gumbel, FrÈchet et Weibull nÈgative) Un ÈvÈnement rare a une faible probabilitÈ díoccurence et le quantile extrÍme a une trÈs petite probabilitÈ non nulle. Pour líestimation de ces quantiles, gÈnÈralement, on ne dispose que de trÈs peu de donnÈes. Il faut donc extrapoler ‡ partir des donnÈes observÈes pour estimer adÈquatement ces quantitÈs. AprÈs avoir rappelÈ certaines notions en thÈorie des valeurs extrÍmes. Le recours ‡ cette thÈorie nous permet díÈtudier le comportement des valeurs extrÍmes díun Èchantillon de variables alÈatoire et de construire des estimateurs non paramÈtriques, ce qui nous a permis díestimer des quantiles extrÍmes pour des lois ‡ queue de type Weibull, Frechet, Gumbel et la GEV et ainsi que la loi GPD. La G E V( Valeur extrÍme gÈnÈralisÈe) est une 79 n coinside avec la statistique díorde de líÈchantillon X(i) = Xi;n: Les statistiques díordre centrales comme quantiles empiriques centrales- La mÈdiane empirique en fait partie- ont un comportement asymptotique la loi Normale.Voir le thÈorËme de convergence. Ce qui signiÖe que les Quantiles empiriques centrales vÈrifent le fameux thÈorËme centrale limite (TCL).