Résolution d’un système non linéaire de problèmes aux limites du second ordre

Abstract

On considère le système non linéaire de problèmes aux limites du second ordre : u′′ 1(x) + a1(x)u′ 1(x) + a2(x)u1(x) + a3(x)u′′ 2(x) + a4(x)u′ 2(x) + a5(x)u2(x) + N1(u1, u2) = f1(x) 0 ≤ x ≤ 1 u′′ 1(x) + b1(x)u′ 1(x) + b2(x)u1(x) + b3(x)u′′ 2(x) + b4(x)u′ 2(x) + b5(x)u2(x) + N2(u1, u2) = f2(x) 0 ≤ x ≤ 1 u1(0) = u1(1) = 0 ; u2(0) = u2(1) = 0 (1) où N1,N2 sont deux fonctions non linéaires de u1, u2 telle que u1 et u2 dans W3 2 [0, 1], fi − Ni ∈ W1 2 [0, 1], i = 1, 2 et aj(x), bj(x) sont continues, j = {1, 2, 3, 4, 5}. D’abord on a transformé le système vers un système matriciel :   Au = f(x) − N(u1, u2) 0 ≤ x ≤ 1 avec u(0) = u(1) = 0 (2) avec A un opérateur linéaire borné. La méthode du noyau reproduisant est décrite afin d’obtenir la solution analytique pour le problème posé (2). Les solutions analytiques sont obtenues sous la forme d’une série de fonctions convergente pour des conditions aux limites approchées dans l’espace W3 2 [0, 1], tandis que deux fonctions de noyau reproduisant continus sont utilisées tout au long de l’évolution de ce travail. Quelques exemples du noyau sont présentés pour illustrer l’obtention des solutions.