ETUDE QUANTIQUE POUR QUELQUES SYSTEMES PHYSIQUE DANS LE CADRE DE LA GEOMETRIE NON COMMUTATIVE

Abstract

Dans ce travail de recherche, nous avons reformulé quelques problèmes quantiques habituels de la géométrie commutative dans le cadre de la géométrie non commutative. Il a fallu dans les chapitres 1 et 2 donner les notions de base ainsi que les outils mathématiques nécessaires pour notre étude quantique, où il s’est avéré que pour coder la non commutativité de l’espace de phase nous devrions utiliser quatre méthodes qui sont : le produit ordinaire avec les opérateurs de Weyl , remplacer le produit ordinaire par le produit de Weyl Moyal (produit star ) dans les opérateurs et les fonctions de notre système , utiliser le décalage de Bopp shifft à travers les transformation de Seiberg Witten. Dans le chapitre 3, l'effet de la non commutativité a été étudié, dans un premier temps, sur le potentiel d’un oscillateur quantique chargé dans un espace de phase complexe canonique non commutatif à deux dimensions. En utilisant la Méthode de décalage de Bopp, ou les transformations de Siberg-Witten, nous avons dérivé, jusqu'au premier ordre dans les paramètres non-commutatifs θ et 𝜂, l'équation hamiltonienne déformée. En résolvant cette dernière , nous avons constaté que l'énergie est déplacée au premier ordre en θ et 𝜂 de deux niveaux, ce qui nous permet de dire que la particule dans un espace complexe non commutatif équivaut à une particule de spin 1/2 dans un champ magnétique, où la non-commutativité joue le rôle de champ magnétique qui manifeste le moment magnétique total d'une particule de spin 1/2, qui décale en retour le spectre d'énergie. Ces effets sont similaires à l’effet Zeeman dans un espace commutatif. Dans un second temps, nous avons élargi notre étude au cas d’un oscillateur quantique chargé dans un espace de phase complexe canonique non commutatif à deux dimensions, dans lequel baigne un champ magnétique perpendiculaire au plan et un champ électrique lié au plan. En résolvant l'équation hamiltonienne déformée, nous avons montré que le spectre d’énergie est égal à la somme des valeurs propres de deux oscillateurs harmoniques indépendants. La dépendance en les paramètres non commutatifs apparait dans les expressions de leurs fréquences.