Modèle stochastique des taux d’intérêts

Abstract

Ce m emoire nous a permis d'avoir des connaissances sur les produits d eriv es et comment les valoriser, gr^ace au mod ele de Black et Scholes. Comme on a prix connaissance que le taux d'int er^et peut ^etre volatil et qu'il existe plusieurs mod eles mod elisant le taux d'int er^et a court terme. On a choisi dans notre etude quatre mod eles (Vasicek, CIR, HW et G2++) et essay e de d eterminer le mod ele le plus r ealiste. Le concept fondamental de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent. Ce succ es est d^u a la simplicit e de ces formules. Mais, d'un cot e ce mod ele ne peut ^etre appliqu e qu'aux options de type europ een, car il n'est pas adapt e pour celles de type am ericain. D'autre cot e, le mod ele de Black-Scholes est bas e sur des hypoth eses qui sont pas toujours ables sur les march es nanciers par exemple l'instabilit e des taux d'int er^et. Jusqu' a pr esent, aucun mod ele n'a pu s'imposer comme mod ele de r ef erence au m^eme titre que le mod ele de Black-Scholes pour les options sur actions. Les trois premiers mod eles sont des mod eles a un facteur, faciles a comprendre en th eorie et qui pr esentent l'avantage de donner des expressions analytiques a un z ero -coupon. Ces expressions sont facilement impl ementables du point de vue informatique, et connaissant les param etres, on peut obtenir le prix tr es rapidement. Comme il nous permet d'obtenir une formule de prix z ero coupon. Cependant, l'un des principaux d efauts de ces mod eles est qu'il existe une relation parfaite corr elation entre les taux des di erentes maturit es. Pour rem edier a ce d efaut, nous avons tent e de pr esenter un mod ele a deux facteurs G2++. L'avantage de ce mod ele permet de donner une bonne repr esentation de la courbe des taux. Et son inconv enient comme dans le mod ele de Vasicek, le taux court instantan e peut toujours prendre des valeurs n egatives. Pour pallier au d efaut du mod ele gaussien a deux facteurs qui est la n egativit e des taux, plusieurs mod eles de taux ont et e propos es en litt erature nanci ere tels que le mod ele de CIR2++ qui constitue un th eme de recherche tr es int eressant.