SUR l’ÉTUDE D’EXISTENCE DE POINTS FIXES POUR DES APPLICATIONS DE TYPE NON-EXPANSIVE DANS DES ESPACES DE BANACH

Abstract

L’étude d’existence de points fixes est un domaine d’intérêt pour beaucoup de chercheurs en mathématique. Cette étude consiste à résoudre des équations abstraite dont la forme générale est Tx = x où T est un opérateur défini sur un espace métrique complet (X, d) muni de sa distance noté par d (ou un espace de Banach (X, k·k) muni de sa norme k·k). L’élément x de l’espace E est appelé un point fixe. Cette théorie possède beaucoup d’applications dans différents domaines tels que la physique, l’économie, la théorie des jeux, la chimie, l’ingénierie et bien autres.... De nos jours, la théorie du point fixe est un domaine de recherche très actif dans lequel de nombreux nouveaux théorèmes sont publiés, certains appliqués et d’autres abstraits. Motivés par tout cela, nous donnons plusieurs résultat basique sur l’existence de points fixes pour des applications du type non-expansive définies sur des espaces de Banach. La structure de l’espace de Banach ‘ géométrique, topologique ou algébrique ‘ et la nature des opérateurs en question jouent un role primordial dans l’établissement des théorèmes d’existence de points fixes. On a commencé ce mémoire par une introduction et généralités sur l’analyse fonctionnel et quelques notions de Topologie, puis on a traité les propriétés géométriques des espaces de Banach. Aprés, nous donnons une introduction à la théorie du point fixe. Cette théorie a plusieurs applications. Notre traitement du sujet principal dans ce mémoire commence dans le Chapitre 3. Dans ce chapitre, nous considérons plusieurs problème d’existence de points fixes pour des applications non expansive dans des espaces de Banach dont la structure est normale ou bien uniformément convexe ou encore qui vérifie la condition "‘Opial"’. Enfin, dans le Chapitre 4, on s’intéressera à quelques applications à des équations différentielles ou intégrales.